Контрольная работы по математике Пределы

Замечательные пределы. Функция  не определена при х=0.

Однако предел этой функции  существует. Найдем этот предел при .

Возьмем круг радиуса R c центром в точке  Рассмотрим острый угол Проведем хорду ВМ и проведем перпендикуляр к радиусу ОВ, который проходит через точку В и пересекается с продолжением радиуса ОМ в точке С (рис.3.3).

Обозначим радианную меру угла через х,  Сравним площади треугольника ВОМ, сектора ВОМ и треугольника ВОС. Площадь площадь сектора равна а площадь  Треугольник BOM является частью сектора ВОМ, который, в свою очередь, является частью треугольника ВОС, поэтому их площади связаны двойным неравенством

Отсюда имеем

Так как  и , то, разделив полученное неравенство на , получаем

и, следовательно,

Функции  и , входящее в последнее двойное неравенство, являются четными, поэтому оно справедливо и для

Далее воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 3.5. (о пределе промежуточной функции). Если функция f(х) заключена между двумя функциями и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, ,

, то

Эту теорему иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции (х) и g(x), функция f(х) «сле­дует за милиционерами».

Так как  и , то по теореме 3.5. имеем

Найденный предел  называется первым замечательным пределом.

С помощью первого замечательного предела можно раскрыть неко­торые неопределенности вида , , возникающие при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции.

Пример 3.7. Используя первый замечательный предел, вычислить:

а)   б) в)

Решение:

а) и , то имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию следующим образом:

б) В этом случае тоже возникает неопределенность вида , так как  и

в) При  получаем неопределенность вида , так как , а

Ответ: а)

 б)

 в)

Исходя из определения 1 предела функции и теоремы 2.3 (Больцано-Вейерштрасса), для последовательностей следует равенство , называемое вторым замечательным пределом. Можно показать, что

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности при вычислении пределов вида ,где , а

Указанный предел может быть найден при помощи следующих преобразований:

Пример 3.8. Найти пределы функций:

а)  б)

Решение.

а) Поскольку  и , а , то здесь имеет место неопределенность . Для ее раскрытия воспользуемся формулой

б)

3.6. Сравнение бесконечно малых функций. Пусть  и  - бесконечно малые при  функции.

1.Если , А – число, то  и  называются бесконечно малыми функциями одного порядка при .

2. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка при , чем , при этом пишут , где символ «» читается как « - малое».

3. Если , то функция  называется бесконечно малой более низкого прядка при  , чем

4. Если  не существует ( ни конечный, ни бесконечный), то бесконечно малые при функции   и  называются несравнимыми.

Пример 3.9.Сравнить с бесконечно малой следующие бесконечно малые при функции:

а)   б)

в)   г)

Решение.

а)

Значит,  и   - б.м.ф. одного порядка при

б)

Отсюда следует, что  - б.м.ф. более высокого порядка, чем  при  т.е.

в), так как

Следовательно,  - б.м.ф. более низкого порядка, чем  при

г)

Так как  не существует, то  и  при являются несравнимыми.

Контрольная работы по математике Пределы