Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Замечательные пределы. Функция  не определена при х=0.

    Однако предел этой функции  существует. Найдем этот предел при .

    Возьмем круг радиуса R c центром в точке  Рассмотрим острый угол Проведем хорду ВМ и проведем перпендикуляр к радиусу ОВ, который проходит через точку В и пересекается с продолжением радиуса ОМ в точке С (рис.3.3).

    Обозначим радианную меру угла через х,  Сравним площади треугольника ВОМ, сектора ВОМ и треугольника ВОС. Площадь площадь сектора равна а площадь  Треугольник BOM является частью сектора ВОМ, который, в свою очередь, является частью треугольника ВОС, поэтому их площади связаны двойным неравенством

    Отсюда имеем

    Так как  и , то, разделив полученное неравенство на , получаем

    и, следовательно,

    Функции  и , входящее в последнее двойное неравенство, являются четными, поэтому оно справедливо и для

    Далее воспользуемся следующей теоремой.

    Теорема 3.5. (о пределе промежуточной функции). Если функция f(х) заключена между двумя функциями и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

    , ,

    , то

    Эту теорему иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции (х) и g(x), функция f(х) «сле­дует за милиционерами».

    Так как  и , то по теореме 3.5. имеем

    Найденный предел  называется первым замечательным пределом.

    С помощью первого замечательного предела можно раскрыть неко­торые неопределенности вида , , возникающие при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции.

    Пример 3.7. Используя первый замечательный предел, вычислить:

    а)   б) в)

    Решение:

    а) и , то имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию следующим образом:

    б) В этом случае тоже возникает неопределенность вида , так как  и

    в) При  получаем неопределенность вида , так как , а

    Ответ: а)

     б)

     в)

    Исходя из определения 1 предела функции и теоремы 2.3 (Больцано-Вейерштрасса), для последовательностей следует равенство , называемое вторым замечательным пределом. Можно показать, что

    Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности при вычислении пределов вида ,где , а

    Указанный предел может быть найден при помощи следующих преобразований:

    Пример 3.8. Найти пределы функций:

    а)  б)

    Решение.

    а) Поскольку  и , а , то здесь имеет место неопределенность . Для ее раскрытия воспользуемся формулой

    б)

    3.6. Сравнение бесконечно малых функций. Пусть  и  - бесконечно малые при  функции.

    1.Если , А – число, то  и  называются бесконечно малыми функциями одного порядка при .

    2. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка при , чем , при этом пишут , где символ «» читается как « - малое».

    3. Если , то функция  называется бесконечно малой более низкого прядка при  , чем

    4. Если  не существует ( ни конечный, ни бесконечный), то бесконечно малые при функции   и  называются несравнимыми.

    Пример 3.9.Сравнить с бесконечно малой следующие бесконечно малые при функции:

    а)   б)

    в)   г)

    Решение.

    а)

    Значит,  и   - б.м.ф. одного порядка при

    б)

    Отсюда следует, что  - б.м.ф. более высокого порядка, чем  при  т.е.

    в), так как

    Следовательно,  - б.м.ф. более низкого порядка, чем  при

    г)

    Так как  не существует, то  и  при являются несравнимыми.

    Контрольная работы по математике Пределы