Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Эквивалентные бесконечно малые функции. Остановимся на важном частном случае бесконечно малых одного порядка.

    Если , то бесконечно малые при функции при  и   называются эквивалентными и обозначаются

    Докажем эквивалентность некоторых бесконечно малых функций при

    1. Из определения первого замечательного предела  следует, что

    2. Так как

    , то

    3. Поскольку

    следовательно,

    4.Так как то

    , значит

    Так как

    то  

    Наряду с перечисленным выше, приведем другие важнейшие эквивалентности для  при , которые используются при вычислении пределов.

    1.   6.

    2.   7.

    3.   8.

    4.   9.

    5.   10.

    Теорема 3.6. Две бесконечно малые при  функции  и  эквивалентны только тогда, когда разность есть бесконечно малая боле высокого порядка относительно  (или ), т.е.  (или ).

    Доказательство.

    1. Пусть  при т.е.  Тогда

    Это означает, что  

    Аналогично доказывается, что  и, следовательно, что

    2. Если то

    Отсюда следует, что  при

    Аналогично, если , то  

    Теорема 3.7 ( о замене б.м.ф. эквивалентами). Пусть , ,  - бесконечно малые при  функции и ,  при ,

    Доказательство. Так как  и  при , т.е.

      и , то

    Очевидно также, что

    Этой теоремой удобно пользоваться для раскрытия неопределенностей вида   возникающих при вычислении пределов функций.

    Пример 3.8. Найти пределы функций, заменяя бесконечно малые эквивалентными:

    а)  б)

    в)  г)

    Решение:

    а) Здесь имеется неопределенность вида , поскольку и числитель, и знаменатель при стремится к нулю. Так при  , то, пользуясь теоремой 3.7 о замене б.м.ф. эквивалентными, находим

    б)

    в)

    Ответ: а) б)

     в) г)

    Непрерывность функции

    Контрольная работы по математике Пределы