Контрольная работы по математике Пределы

Эквивалентные бесконечно малые функции. Остановимся на важном частном случае бесконечно малых одного порядка.

Если , то бесконечно малые при функции при  и   называются эквивалентными и обозначаются

Докажем эквивалентность некоторых бесконечно малых функций при

1. Из определения первого замечательного предела  следует, что

2. Так как

, то

3. Поскольку

следовательно,

4.Так как то

, значит

Так как

то  

Наряду с перечисленным выше, приведем другие важнейшие эквивалентности для  при , которые используются при вычислении пределов.

1.   6.

2.   7.

3.   8.

4.   9.

5.   10.

Теорема 3.6. Две бесконечно малые при  функции  и  эквивалентны только тогда, когда разность есть бесконечно малая боле высокого порядка относительно  (или ), т.е.  (или ).

Доказательство.

1. Пусть  при т.е.  Тогда

Это означает, что  

Аналогично доказывается, что  и, следовательно, что

2. Если то

Отсюда следует, что  при

Аналогично, если , то  

Теорема 3.7 ( о замене б.м.ф. эквивалентами). Пусть , ,  - бесконечно малые при  функции и ,  при ,

Доказательство. Так как  и  при , т.е.

  и , то

Очевидно также, что

Этой теоремой удобно пользоваться для раскрытия неопределенностей вида   возникающих при вычислении пределов функций.

Пример 3.8. Найти пределы функций, заменяя бесконечно малые эквивалентными:

а)  б)

в)  г)

Решение:

а) Здесь имеется неопределенность вида , поскольку и числитель, и знаменатель при стремится к нулю. Так при  , то, пользуясь теоремой 3.7 о замене б.м.ф. эквивалентными, находим

б)

в)

Ответ: а) б)

 в) г)

Непрерывность функции

Контрольная работы по математике Пределы