Односторонние пределы. В определении предела функции 
Считается, что х стремится к
х0, любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), или колеблясь около
точки х0.
Бывают случаи, когда значение предела функции зависит от способа
приближения х к х0. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Пусть
функция 
определена на интервале (а, х0). Число А называется пределом
функции слева при х, стремящемся к х0, если любого 
существует
такое, что для любого 
выполняется неравенство 
Предел функции слева обозначается 
или 
Пусть функция определена на интервале (х0, b). Тогда аналогично определяется
предел функции справа при 
и обозначается 
или 
Коротко это можно записать так:
Пределы
функции слева и справа называются односторонними пределами.
Очевидно, если
существует , то существуют пределы слева и справа, причем 
. Справедливо обратное утверждение:
если существуют оба односторонних предела и они равны, т.е. 
, то существует оба односторонних
предела и они равны, т.е. , то существует предел . Если же 
, то 
, не существует.
Пример 4.1 Найти односторонние
пределы функций.
а) 
при
б) 
при 
Решение:
а)Если 
,то
. Значит 
Тогда
Если 
, то 
Значит
Тогда
б)Если
, то 
и 
. Тогда 
Следовательно,
Если
, то 
и 
Тогда 
Значит
4.2.Неприрывность функции в точке. Пусть
функция определена в точке х0 и в некоторой
окрестности этой точки.
Определение 1.Функция называется непрерывной в точке х0, если существует предел
функции в этой точке и он равен значению функции в точке х0, т.е. 
Данное
определение эквивалентно выполнению следующих трех условий:
Функция определена
в самой точке х0 и некоторой ее окрестности (т.е. на интервале 
где 
).
Функция имеет конечные односторонние пределы:
, 
.
Так
как 
, то равенство 
можно записать в следующей форме:
Следовательно
для непрерывности функции символ 
предельного перехода и символ f функции
можно поменять местами.
На языке «
» можно дать следующее определение непрерывности функции
в точке.
Определение 2. Функция , назевается непрерывной в точке х0, если для любого существует
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству 
, выполняется неравенство 
.
С помощью логических символов это определение
записывается в виде
Пусть
функция определена в некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную
точку точке 
. Для любого 
разность 
называется приращением аргумента х
в точке х0 и обозначается 
Отсюда 
Разность соответствующих значений функций 
называется приращением функции 
в точке х0 и обозначается 
(или
или 
): 
или 
(см. рис.4.1).
Очевидно
приращения 
и могут быть как положительными, так
и отрицательными числами.
Условие непрерывности функции в точке х0
Можно
записать так:
Это
равносильно тому, что 
Используя, что 
, полученное равенство можно представить в виде 
Определение 3.Функция , называется непрерывной в точке
х0, если 
, т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
функции .
Пример 4.2. Исследовать
на непрерывность функцию 
Решение:
Функция определена при всех 
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение
:
Тогда
, так как произведение ограниченной
функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.
В ряде
случаев удобно пользоваться определением непрерывности функции в точке на «языке
последовательностей».
Определение 4. Пусть функция задана на множестве
X и пусть точкА 
. Функция называется непрерывной в точке х0,
если для любой последовательности точек 
сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность
значений функции сходится к f(x0).
Все
четыре определения непрерывности функции в точке равносильны.