Контрольная работы по математике Пределы

Односторонние пределы. В определении предела функции

Считается, что х стремится к х0, любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), или колеблясь около точки х0.

Бывают случаи, когда значение предела функции зависит от способа приближения х к х0. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Пусть функция  определена на интервале (а, х0). Число А называется пределом функции  слева при х, стремящемся к х0, если любого существуеттакое, что для любого  выполняется неравенство  Предел функции слева обозначается   или

Пусть функция  определена на интервале (х0, b). Тогда аналогично определяется предел функции  справа при  и обозначается  или  Коротко это можно записать так:

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Очевидно, если существует , то существуют пределы слева и справа, причем . Справедливо обратное утверждение: если существуют оба односторонних предела и они равны, т.е. , то существует оба односторонних предела и они равны, т.е.  , то существует предел . Если же , то , не существует.

Пример 4.1 Найти односторонние пределы функций.

а)  при  б)   при

Решение:

а)Если ,то . Значит  Тогда

  Если , то Значит Тогда

б)Если , то   и . Тогда Следовательно,

Если , то   и  Тогда Значит



4.2.Неприрывность функции в точке. Пусть функция  определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки.

Определение 1.Функция  называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке х0, т.е.

Данное определение эквивалентно выполнению следующих трех условий:

Функция определена в самой точке х0 и некоторой ее окрестности (т.е. на интервале где ).

Функция имеет конечные односторонние пределы: , .

Так как , то равенство  можно записать в следующей форме:

Следовательно для непрерывности функции символ предельного перехода и символ f функции можно поменять местами.

На языке «» можно дать следующее определение непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция , назевается непрерывной в точке х0, если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение записывается в виде

Пусть функция  определена в некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную точку точке . Для любого   разность  называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается  Отсюда  Разность соответствующих значений функций  называется приращением функции   в точке х0 и обозначается  (или или ):  или  (см. рис.4.1).

Очевидно приращения и  могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Условие непрерывности функции в точке х0

Можно записать так:

Это равносильно тому, что  Используя, что , полученное равенство можно представить в виде

Определение 3.Функция , называется непрерывной в точке

х0, если , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Пример 4.2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Функция  определена при всех

Возьмем произвольную точку х и найдем приращение :

Тогда , так как произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.

В ряде случаев удобно пользоваться определением непрерывности функции в точке на «языке последовательностей».

Определение 4. Пусть функция задана на множестве X и пусть точ­кА . Функция  называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности точек сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность  значений функции схо­дится к f(x0).

Все четыре определения непрерывности функции в точке равносильны.

Контрольная работы по математике Пределы