Односторонние пределы. В определении предела функции 
Считается, что х стремится к
х0, любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), или колеблясь около
точки х0.
Бывают случаи, когда значение предела функции зависит от способа
приближения х к х0. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Пусть
функция
определена на интервале (а, х0). Число А называется пределом
функции
слева при х, стремящемся к х0, если любого
существует
такое, что для любого
выполняется неравенство
Предел функции слева обозначается
или 
Пусть функция
определена на интервале (х0, b). Тогда аналогично определяется
предел функции
справа при
и обозначается
или
Коротко это можно записать так:

Пределы
функции слева и справа называются односторонними пределами.
Очевидно, если
существует
, то существуют пределы слева и справа, причем
. Справедливо обратное утверждение:
если существуют оба односторонних предела и они равны, т.е.
, то существует оба односторонних
предела и они равны, т.е.
, то существует предел
. Если же
, то
, не существует.
Пример 4.1 Найти односторонние
пределы функций.
а)
при
б)
при 
Решение:
а)Если
,то
. Значит
Тогда

Если
, то
Значит
Тогда

б)Если
, то
и
. Тогда
Следовательно,

Если
, то
и
Тогда
Значит

4.2.Неприрывность функции в точке. Пусть
функция
определена в точке х0 и в некоторой
окрестности этой точки.
Определение 1.Функция
называется непрерывной в точке х0, если существует предел
функции в этой точке и он равен значению функции в точке х0, т.е. 
Данное
определение эквивалентно выполнению следующих трех условий:
Функция определена
в самой точке х0 и некоторой ее окрестности (т.е. на интервале
где
).
Функция имеет конечные односторонние пределы:
,
.

Так
как
, то равенство
можно записать в следующей форме:

Следовательно
для непрерывности функции символ
предельного перехода и символ f функции
можно поменять местами.
На языке «
» можно дать следующее определение непрерывности функции
в точке.
Определение 2. Функция
, назевается непрерывной в точке х0, если для любого
существует
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству
, выполняется неравенство
.
С помощью логических символов это определение
записывается в виде

Пусть
функция
определена в некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную
точку точке
. Для любого
разность
называется приращением аргумента х
в точке х0 и обозначается
Отсюда
Разность соответствующих значений функций
называется приращением функции
в точке х0 и обозначается
(или
или
):
или
(см. рис.4.1).

Очевидно
приращения
и
могут быть как положительными, так
и отрицательными числами.
Условие непрерывности функции в точке х0

Можно
записать так:

Это
равносильно тому, что
Используя, что
, полученное равенство можно представить в виде 
Определение 3.Функция
, называется непрерывной в точке
х0, если
, т.е. бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции
.
Пример 4.2. Исследовать
на непрерывность функцию 
Решение:
Функция
определена при всех 
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение
:

Тогда
, так как произведение ограниченной
функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.
В ряде
случаев удобно пользоваться определением непрерывности функции в точке на «языке
последовательностей».
Определение 4. Пусть функция задана на множестве
X и пусть точкА
. Функция
называется непрерывной в точке х0,
если для любой последовательности точек 
сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность
значений функции сходится к f(x0).
Все
четыре определения непрерывности функции в точке равносильны.