Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Односторонние пределы. В определении предела функции

    Считается, что х стремится к х0, любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), или колеблясь около точки х0.

    Бывают случаи, когда значение предела функции зависит от способа приближения х к х0. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

    Пусть функция  определена на интервале (а, х0). Число А называется пределом функции  слева при х, стремящемся к х0, если любого существуеттакое, что для любого  выполняется неравенство  Предел функции слева обозначается   или

    Пусть функция  определена на интервале (х0, b). Тогда аналогично определяется предел функции  справа при  и обозначается  или  Коротко это можно записать так:

    Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

    Очевидно, если существует , то существуют пределы слева и справа, причем . Справедливо обратное утверждение: если существуют оба односторонних предела и они равны, т.е. , то существует оба односторонних предела и они равны, т.е.  , то существует предел . Если же , то , не существует.

    Пример 4.1 Найти односторонние пределы функций.

    а)  при  б)   при

    Решение:

    а)Если ,то . Значит  Тогда

      Если , то Значит Тогда

    б)Если , то   и . Тогда Следовательно,

    Если , то   и  Тогда Значит



    4.2.Неприрывность функции в точке. Пусть функция  определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки.

    Определение 1.Функция  называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке х0, т.е.

    Данное определение эквивалентно выполнению следующих трех условий:

    Функция определена в самой точке х0 и некоторой ее окрестности (т.е. на интервале где ).

    Функция имеет конечные односторонние пределы: , .

    Так как , то равенство  можно записать в следующей форме:

    Следовательно для непрерывности функции символ предельного перехода и символ f функции можно поменять местами.

    На языке «» можно дать следующее определение непрерывности функции в точке.

    Определение 2. Функция , назевается непрерывной в точке х0, если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

    С помощью логических символов это определение записывается в виде

    Пусть функция  определена в некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную точку точке . Для любого   разность  называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается  Отсюда  Разность соответствующих значений функций  называется приращением функции   в точке х0 и обозначается  (или или ):  или  (см. рис.4.1).

    Очевидно приращения и  могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

    Условие непрерывности функции в точке х0

    Можно записать так:

    Это равносильно тому, что  Используя, что , полученное равенство можно представить в виде

    Определение 3.Функция , называется непрерывной в точке

    х0, если , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

    Пример 4.2. Исследовать на непрерывность функцию

    Решение:

    Функция  определена при всех

    Возьмем произвольную точку х и найдем приращение :

    Тогда , так как произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.

    В ряде случаев удобно пользоваться определением непрерывности функции в точке на «языке последовательностей».

    Определение 4. Пусть функция задана на множестве X и пусть точ­кА . Функция  называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности точек сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность  значений функции схо­дится к f(x0).

    Все четыре определения непрерывности функции в точке равносильны.

    Контрольная работы по математике Пределы