Контрольная работы по математике Пределы

Свойства функций, непрерывных в точке. Пусть функции и g(x) определены в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Тогда из теоремы 3.3 для пределов функций следует, что функции

, ,  (если )

тоже будут непрерывны в точке х0.

Следующая теорема указывает на условия непрерывности сложной функции в точке х0.

Теорема 4.1 (о непрерывности сложной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке х0, а функция g(u) непрерывна в точке то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х0, т.е.

Доказательство. В силу непрерывности функции в точке х0 имеем , т.е.

Поэтому из непрерывности функции g(u) следует

Это означает, что сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х0. Из определения элементарной функции и выше приведенных свойств непрерывных функций следует, что каждая элементарная функция непре­рывна в любой внутренней точке своей области определения.

Точки разрыва функции, их классификация. Пусть функция

у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Функцию

у = f(x), не являющуюся непрерывной в точке х0, называют разрывной функцией в точке х0, а саму точку х0 - точкой разрыва. Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено условие ее непрерывности.

Если в точке х0 функция у = f(х) имеет конечные предел слева и предел справа и они равны между собой , но сама функция у = f(x)не определена в точке х0 или , то точка х0 называется точкой устранимого разрыва первого рода функции у = f(х).

Если функция у = f(х) имеет в точке х0 устранимый разрыв пер­вого рода, то в этой точке она может быть так переопределена или доопре­делена, что окажется непрерывной в ней. Для этого в качестве нового зна­чения f(x)нужно взять число, равное , сохранив все остальные значения функции.

Например, функция  не определена в точке х=0 (рис.3.5), но существует (см. раздел 4.2), следовательно, существуют оба односторонних предела и они равны. Значит, точка х=0 является точкой устранимого разрыва. Доопределим функцию

Тогда функция  будет непрерывна в точке х=0.

Если в точке х0 функция у = f(x)имеет конечные пределы слева и справа,   и , но , но точка х0 называется точкой неустранимого разрыва первого рода (или просто точкой разрыва первого рода) функции .

Величина  называется скачком функции  в точке х=х0.

Например, для функции  (рис. 4.3) точка х=2 есть точка разрыва первого рода, так как ,

Скачок функции равен

Точка х0 - точка разрыва второго рода функции у = f(x), xD, если хотя бы один из ее односторонних пределов при ра­вен бесконечности.

Точка разрыва х0 называется точкой раз­рыва второго рода функции у = f (х), если хотя бы один из ее односто­ронних пределов при равен бесконечно­сти или не существует.

Например, функция  не определена в точке х= - 2. Эта точка является точкой разрыва второго рода, так как ,  (рис. 4.4).

Пример 4.3. Исследовать функцию на непрерывность в точке х0=0 и указать тип разрыва.

Решение. Проверим выполнение условий непрерывности функции в точке.

Функцияне определена в точке х=0, следовательно, это точка разрыва.

, так как ,

 , так как

Поскольку левый предел заданной функции бесконечен, значит х=0 – точка разрыва второго рода.

Исследуем поведение функции на бесконечности:

, значит функция стремится к прямой у=1 сверху (оставаясь больше 1);

, т.е. функция стремится к 1 снизу (оставаясь меньше 1) (рис.4.5).

Контрольная работы по математике Пределы