Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Свойства функций, непрерывных в точке. Пусть функции и g(x) определены в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Тогда из теоремы 3.3 для пределов функций следует, что функции

    , ,  (если )

    тоже будут непрерывны в точке х0.

    Следующая теорема указывает на условия непрерывности сложной функции в точке х0.

    Теорема 4.1 (о непрерывности сложной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке х0, а функция g(u) непрерывна в точке то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х0, т.е.

    Доказательство. В силу непрерывности функции в точке х0 имеем , т.е.

    Поэтому из непрерывности функции g(u) следует

    Это означает, что сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х0. Из определения элементарной функции и выше приведенных свойств непрерывных функций следует, что каждая элементарная функция непре­рывна в любой внутренней точке своей области определения.

    Точки разрыва функции, их классификация. Пусть функция

    у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Функцию

    у = f(x), не являющуюся непрерывной в точке х0, называют разрывной функцией в точке х0, а саму точку х0 - точкой разрыва. Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено условие ее непрерывности.

    Если в точке х0 функция у = f(х) имеет конечные предел слева и предел справа и они равны между собой , но сама функция у = f(x)не определена в точке х0 или , то точка х0 называется точкой устранимого разрыва первого рода функции у = f(х).

    Если функция у = f(х) имеет в точке х0 устранимый разрыв пер­вого рода, то в этой точке она может быть так переопределена или доопре­делена, что окажется непрерывной в ней. Для этого в качестве нового зна­чения f(x)нужно взять число, равное , сохранив все остальные значения функции.

    Например, функция  не определена в точке х=0 (рис.3.5), но существует (см. раздел 4.2), следовательно, существуют оба односторонних предела и они равны. Значит, точка х=0 является точкой устранимого разрыва. Доопределим функцию

    Тогда функция  будет непрерывна в точке х=0.

    Если в точке х0 функция у = f(x)имеет конечные пределы слева и справа,   и , но , но точка х0 называется точкой неустранимого разрыва первого рода (или просто точкой разрыва первого рода) функции .

    Величина  называется скачком функции  в точке х=х0.

    Например, для функции  (рис. 4.3) точка х=2 есть точка разрыва первого рода, так как ,

    Скачок функции равен

    Точка х0 - точка разрыва второго рода функции у = f(x), xD, если хотя бы один из ее односторонних пределов при ра­вен бесконечности.

    Точка разрыва х0 называется точкой раз­рыва второго рода функции у = f (х), если хотя бы один из ее односто­ронних пределов при равен бесконечно­сти или не существует.

    Например, функция  не определена в точке х= - 2. Эта точка является точкой разрыва второго рода, так как ,  (рис. 4.4).

    Пример 4.3. Исследовать функцию на непрерывность в точке х0=0 и указать тип разрыва.

    Решение. Проверим выполнение условий непрерывности функции в точке.

    Функцияне определена в точке х=0, следовательно, это точка разрыва.

    , так как ,

     , так как

    Поскольку левый предел заданной функции бесконечен, значит х=0 – точка разрыва второго рода.

    Исследуем поведение функции на бесконечности:

    , значит функция стремится к прямой у=1 сверху (оставаясь больше 1);

    , т.е. функция стремится к 1 снизу (оставаясь меньше 1) (рис.4.5).

    Контрольная работы по математике Пределы