Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Пример 4.4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематически график.

     

    Решение:

    Функция f(х) неэлементарная; она задана тремя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента х. Область определения заданной функции есть вся числовая ось за исключением точки х = 1. Это значит, что в точке х = 1 функция разрывна. Кроме того, поскольку функция неэлементарная, она может иметь разрыв в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х = 0 и х = 2.

    Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие значения и односторонние пределы функции.

    В точке х=0 имеем:

    1. определена в точке х=0 и

    2. ,

    3.

    Значит, функция f(x) непрерывна в точке х = 0, так как все условия непрерывности этой функции в данной точке выполнены.

    В точке х = 1 имеем:

    1. f(x) не определена в точке х=1.

    2. Предел в этой точке существует:

    , следовательно,

    Значит, х=1 – точка устранимого разрыва первого рода. Если положить f(1)=2,то рассматриваемая функция становится непрерывной в каждой точке интервала (0,2).

    В точке х=2 имеем:

    1. определена в точке х=2 и

    2.

    3.

    Следовательно, х=2 – точка неустранимого разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке равен . (рис. 4.6)

    Свойства функций, непрерывные на отрезке. По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Пусть функция  определена на промежутке  (или на ).

    Функция   называется непрерывной слева (справа) в точке x0, если в этой точке существует конечный предел функции слева (справа) и он равен значению функции в точке х0, т.е.  . Таким образом, функция  непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна на интервале (а;b), в точке х=а непрерывна справа, а в точке х=b непрерывна слева.

    Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

    Свойства функции, непрерывной на отрезке:

    Теорема 4.2. (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

    Теорема 4.3. (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

    Изображенная на рис. 4.7 функция у = f(x) непрерывна на [a;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х1, а наименьшее т - в точке х2. Для любого имеет место неравенство .

    Теорема 4.4. (теорема Коши о промежуточных значения непрерывной функции). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(а) = А и f(b)=В, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В (рис. 4.8).

    Теорема 4.5. (теорема Больцано-Коши о нуле функции). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль т. е. f(c)=0.

    Геометрический смысл теоремы. Если , то точки (а, f(а)) и (b, f(b)) лежат в разных полуплоскостях, на которые ось Ох делит плоскость хОу. График непрерывной функции y=f(x), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось Ох по крайней мере в одной точке (рис. 4.9).

    Теорема 4.6 (теорема об обратной функции). Если функция f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [a;b], то на отрезке [f(a), f(b)] определена обратная ей функция непрерывная и монотонная.

    Методические указания и образцы решений заданий

    по дисциплине «Математический анализ»

    Пример. Найти предел

    Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

      Пример. Найти предел .

    Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

      Пример. Найти предел

     Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

     Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

     Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

    .

     

      Пример. Найти предел.

    Пример. Найти предел.

      Пример. Найти предел.

      Пример. Найти предел.

     

      Пример. Найти предел.

      Пример. Найти предел .

     Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

    x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

    D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

    x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

    x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

    Тогда

      Пример. Найти предел.

      домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

    =.

    Пример. Найти предел.

      Пример. Найти предел .

     Разложим числитель и знаменатель на множители.

    x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

    x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

    x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1

     x3 – x2 x2 – 5x + 6

     - 5x2 + 11x

     - 5x2 + 5x

     6x - 6

     6x - 6 0

    x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

    Тогда

      Пример. Найти предел.

     

    порядок взыскания алиментов через суд.
    Контрольная работы по математике Пределы