Пример. Найти производную функции
.
По формуле получаем: 
Производные этих функций: 
Окончательно:

Пример. Найти производную функции
.
Сначала
преобразуем данную функцию: 

Пример. Найти производную функции
.

Пример. Найти производную функции 

Пример. Найти производную функции 

Пример. Найти производную функции 
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал
функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.
Также можно воспользоваться формулой

Тогда абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Нахождение пределов по формуле Лопиталя
Пример: Найти предел
.
Как видно, при попытке непосредственного вычисления
предела получается неопределенность вида
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют
требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x)
= 2x +
; g¢(x) = ex;
;
Пример:
Найти предел
.
;
;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел
опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй
раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно
только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют
требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел
.
;
;
;
;

;
; 
Следует отметить, что правило
Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном
примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой
метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример: Найти предел
.
;
;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
;
;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
;
;
;
Неопределенности вида
можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности
встречаются при нахождении пределов функций вида
, f(x)>0 вблизи точки а при х®а.
Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел
.
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда
.
Следовательно 
Пример:
Найти предел
.
;
- получили неопределенность. Применяем
правило Лопиталя еще раз.
;
;