Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 Пример. Найти производную функции .

По формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

  Пример. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

  Пример. Найти производную функции .

  Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции

 

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

 Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

 Также можно воспользоваться формулой

  Тогда абсолютная погрешность

  Относительная погрешность

  Нахождение пределов по формуле Лопиталя 

 Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

;

Пример: Найти предел .

;  ;

.

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

 Пример: Найти предел .

;  ;

;  ;

;  ; 

 Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

 Пример: Найти предел .

;  ;

  - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;  ;

  - применяем правило Лопиталя еще раз.

;  ;

;

  Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

  Пример: Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

 Пример: Найти предел .

;  - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

;  ;