Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия Векторная алгебра Пределы Вычислить предел функции Односторонние пределы Методами дифференциального исчисления исследовать функцию

	Аналитическая геометрия
	Системы линейных уравнений Правило Крамера Метод Крамера Метод Гаусса Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Элементарные преобразования матриц Система n линейных уравнений с n неизвестными Система линейных уравнений с базисом Ранг матрицы Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы Линейные действия над векторами Скалярное произведение векторов Даны координаты вершин пирамиды Линейные операции над векторами. Сложение векторов. Разложение вектора по базису Система координат Скалярное произведение векторов и его приложение
	Векторная алгебра
	Решение типовых примеров Векторное произведение векторов, его свойства Преобразование алгебраических выражений Комплексные числа Комплексные числа в тригонометрической форме Составить квадратное уравнение Прямоугольная декартова система координат Скалярное произведение векторов Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач Комбинаторика (комбинаторный анализ) Бином Ньютона
	Пределы
	Предел последовательности Пример. Найти предел Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса Вычислить предел функции Задачи, связанные с применением второго замечательного предела Вычислить предел числовой последовательности Бесконечно малые и бесконечно большие функции Эквивалентные бесконечно малые функции Односторонние пределы. Свойства функций, непрерывных в точке Исследовать функцию на непрерывность Найти производную функции Найти асимптоты и построить график функции Векторная функция скалярного аргумента Составить уравнения касательной Методами дифференциального исчисления исследовать функцию Найти неопределенный интеграл Интегрирование рациональных функций Интегрирование некоторых тригонометрических функций Определенный интеграл

Пример. Найти производную функции .
По формуле получаем:
Производные этих функций:
Окончательно:
Пример. Найти производную функции.
Сначала преобразуем данную функцию:
Пример. Найти производную функции .
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.
Также можно воспользоваться формулой
Тогда абсолютная погрешность
Относительная погрешность
Нахождение пределов по формуле Лопиталя
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
;
Пример: Найти предел .
; ;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел .
; ;
; ;
; ;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
;
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда . Следовательно
Пример: Найти предел .
; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;

Контрольная работы по математике Пределы