Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

     Пример. Найти производную функции .

    По формуле получаем:

    Производные этих функций:

    Окончательно:

      Пример. Найти производную функции.

    Сначала преобразуем данную функцию:

      Пример. Найти производную функции .

      Пример. Найти производную функции

      Пример. Найти производную функции

      Пример. Найти производную функции

     

    Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

     Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

     Также можно воспользоваться формулой

      Тогда абсолютная погрешность

      Относительная погрешность

      Нахождение пределов по формуле Лопиталя 

     Пример: Найти предел .

    Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

    f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

    ;

    Пример: Найти предел .

    ;

    .

      Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

     Пример: Найти предел .

    ;

    ;

     Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

     Пример: Найти предел .

    ;

      - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

    ;

      - применяем правило Лопиталя еще раз.

    ;

    ;

      Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

      Пример: Найти предел .

    Здесь y = xx, lny = xlnx.

    Тогда . Следовательно 

     Пример: Найти предел .

    - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

    Контрольная работы по математике Пределы