Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

    1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0:  y®-¥  x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

    2) Наклонные асимптоты:

    Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

    Построим график функции:

     Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

    Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

    Найдем наклонные асимптоты:

    y = 0 – горизонтальная асимптота.

     

    Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

    Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

    Найдем наклонные асимптоты.

    Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

    Схема исследования функций

     Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

    Область существования функции.

    Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

    Точки разрыва. (Если они имеются).

    Интервалы возрастания и убывания.

    Точки максимума и минимума.

    Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

    Области выпуклости и вогнутости.

    Точки перегиба.(Если они имеются).

    Асимптоты.(Если они имеются).

    Построение графика.

    Применение этой схемы рассмотрим на примере.

    Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

    Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

    В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

    Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

    Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

    Находим критические точки.

    Найдем производную функции

    Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

    Найдем вторую производную функции

    .

      Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

    -¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

    - < x < -1, y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

    -1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

     0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

     1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

       < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

    Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

    -¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

    - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

    -1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

     0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

     1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

      < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

      Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

     Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

      Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

    Построим график функции:

    На udoprofi.biz купить права ДОПОГ в Москве.
    Контрольная работы по математике Пределы