Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0:  y®-¥  x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

 Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

 Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

Точки разрыва. (Если они имеются).

Интервалы возрастания и убывания.

Точки максимума и минимума.

Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

Области выпуклости и вогнутости.

Точки перегиба.(Если они имеются).

Асимптоты.(Если они имеются).

Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

   < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

  < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

  Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

 Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

  Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Контрольная работы по математике Пределы