Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением  в точке t = p/2.

  Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

x(t) = cost;  y(t) = sint; z(t) = ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:

x¢(t) = -sint; y¢(t) = cost; 

  x¢(p/2) = -1; y¢(p/2) = 0; z¢(p/2)=

 x(p/2) = 0; y(p/2) = 1; z¢(p/2)= p/2

 

это уравнение касательной.

Нормальная плоскость имеет уравнение:

Параметрическое задание функции.

 Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

 Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

 Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной  на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

 Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

 Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

 В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

 На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

 Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической

форме.

Окружность.

 Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее

точки могут быть найдены по формулам: 

  0 £ t £ 3600

  Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2

Эллипс.

Каноническое уравнение: .

 В

 C M(x, y)

t

  О N P

 Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать:  из DОВР и   из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

 Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

  где 0 £ t £ 2p

Угол t называется эксцентрическим углом.

Циклоида.

 у

 


 С

 

  М К

 О Р В pа 2pа х

 Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = = at; PB = MK = asint;

ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

x = at – asint = a(t – sint).

Итого:  при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

Если исключить параметр, то получаем:

  Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

Астроида.

  Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.

 


 Параметрические уравнения, задающие изображенную  выше кривую,

, 0 £ t £ 2p,

Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3

Производная функции, заданной параметрически.

 Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

 Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Контрольная работы по математике Пределы