Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением  в точке t = p/2.

      Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

    x(t) = cost;  y(t) = sint; z(t) = ;

    Находим значения функций и их производных в заданной точке:

    x¢(t) = -sint; y¢(t) = cost; 

      x¢(p/2) = -1; y¢(p/2) = 0; z¢(p/2)=

     x(p/2) = 0; y(p/2) = 1; z¢(p/2)= p/2

     

    это уравнение касательной.

    Нормальная плоскость имеет уравнение:

    Параметрическое задание функции.

     Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

    ,

    производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

     Находим производные:

    Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

     Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной  на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

     Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

     Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

     В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

     На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

     Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

    Уравнения некоторых типов кривых в параметрической

    форме.

    Окружность.

     Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее

    точки могут быть найдены по формулам: 

      0 £ t £ 3600

      Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

    x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2

    Эллипс.

    Каноническое уравнение: .

     В

     C M(x, y)

    t

      О N P

     Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать:  из DОВР и   из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

     Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

      где 0 £ t £ 2p

    Угол t называется эксцентрическим углом.

    Циклоида.

     у

     


     С

     

      М К

     О Р В pа 2pа х

     Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

    Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = = at; PB = MK = asint;

    ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

    x = at – asint = a(t – sint).

    Итого:  при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

    Если исключить параметр, то получаем:

      Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

    Астроида.

      Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.

     


     Параметрические уравнения, задающие изображенную  выше кривую,

    , 0 £ t £ 2p,

    Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3

    Производная функции, заданной параметрически.

     Пусть

    Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

    Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

    т.к. Ф(х) – обратная функция, то

    Окончательно получаем:

     Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

    Контрольная работы по математике Пределы