Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Кривизна пространственной кривой.

     z

     A(x, y, z)

     B 

       

     0 y

     

     x

      Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

    x = j(S);  y = y(S); z = f(S);

    Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

     Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

    , тогда   - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

     Но т.к. , то  - единичный вектор, направленный по касательной.

    Если принять , то .

    Причем .

    Рассмотрим вторую производную

     Определение: Прямая, имеющая направление вектора называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается .

    , где К – кривизна кривой.

    Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

    Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

      Определение: Вектор  называется вектором кривизны. Величина  называется радиусом кривизны. 

    О формулах Френе.

     Формулами Френе называются соотношения:

    Последняя формула получена из двух первых.

    В этих формулах:

      - единичный вектор главной нормали к кривой,

      - единичный вектор бинормали,

     R – радиус кривизны кривой ,

     Т – радиус кручения кривой.

     Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.

     Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- .

    Величина  называется кручением кривой.

     Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

     Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее график.

    1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

    2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

    3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

     с осью Ох: y = 0; x = 1;

    4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

    Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

    Итого: у = -х – наклонная асимптота.

    5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

    . Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

      y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

    Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

    6. Построим график функции.

     Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

    1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

    2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

    3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

      с осью Оу: x = 0; y – не существует.

    4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

    Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

    Наклонная асимптота у = х.

    5. Находим точки

     Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

    Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

    В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

    Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

     с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

    Асимптоты кривой.

    Вертикальных асимптот нет.

    Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

     - наклонных асимптот не существует.

    Находим точки экстремума.

    Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

    Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

    Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

    х = 1. Тогда:

     4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1

     ` 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

     - 5x2 + 6x

      ` - 5x2 + 5x

     x - 1

     `  x - 1

     0

    Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

    Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

    Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

    x = 1, x = ½.

    Систематизируем полученную информацию в таблице:

     (-¥ ; ¼)

    1/4

     ( ¼ ; ½) 

    1/2

    ( ½ ; 1 )

     1

     (1 ; ¥)

    f¢¢(x) 

     +

     +

     +

     0

     -

     0

     +

    f¢(x)

     -

     0

     +

     +

     +

     0

     +

    f(x)

    убывает

    вып.вниз

    min

    возрастает

    вып.вниз

    перегиб

    возрастает

    вып.вверх

    перегиб

    возрастает

    вып. вниз

    Построим график функции.

    Контрольная работы по математике Пределы