Контрольная работы по математике Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Переводчик на немецкий язык еще на сайте.
Аналитическая геометрия Собираетесь усладиться обольстительным массажем? Только изящные массажистки готовы угождать для вас в любое время дня, не проглядите отличную возможность побаловать себя аппетитным блаженством. Векторная алгебра Пределы Вычислить предел функции Односторонние пределы Методами дифференциального исчисления исследовать функцию

Кривизна пространственной кривой.

 z

 A(x, y, z)

 B 

   

 0 y

 

 x

  Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

x = j(S);  y = y(S); z = f(S);

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

 Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

, тогда   - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

 Но т.к. , то  - единичный вектор, направленный по касательной.

Если принять , то .

Причем .

Рассмотрим вторую производную

 Определение: Прямая, имеющая направление вектора называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается .

, где К – кривизна кривой.

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

  Определение: Вектор  называется вектором кривизны. Величина  называется радиусом кривизны. 

О формулах Френе.

 Формулами Френе называются соотношения:

Последняя формула получена из двух первых.

В этих формулах:

  - единичный вектор главной нормали к кривой,

  - единичный вектор бинормали,

 R – радиус кривизны кривой ,

 Т – радиус кручения кривой.

 Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.

 Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- .

Величина  называется кручением кривой.

 Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

 Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

 с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

  y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

 Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

  с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки

 Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

 4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1

 ` 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

 - 5x2 + 6x

  ` - 5x2 + 5x

 x - 1

 `  x - 1

 0

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

 (-¥ ; ¼)

1/4

 ( ¼ ; ½) 

1/2

( ½ ; 1 )

 1

 (1 ; ¥)

f¢¢(x) 

 +

 +

 +

 0

 -

 0

 +

f¢(x)

 -

 0

 +

 +

 +

 0

 +

f(x)

убывает

вып.вниз

min

возрастает

вып.вниз

перегиб

возрастает

вып.вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз

Построим график функции.

Контрольная работы по математике Пределы