Контрольная работы по математике Интегральное исчисление

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

     

      Пример.

     Пример.

    Интеграл вида  если

    функция R является нечетной относительно cosx.

     Пример.

     

    Интеграл вида  если

    функция R является нечетной относительно sinx.

     По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

    Тогда

      Пример.

    Интеграл вида

    функция R четная относительно sinx и cosx.

      Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

    t = tgx.

    Тогда

      Пример.

     Пример.

      Пример.

     Пример.

      Пример.

     Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

     Пример.

    Итого 

     

    Интегрирование некоторых иррациональных функций.

    Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

    Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

    Интеграл вида где n- натуральное число.

     С помощью подстановки  функция рационализируется.

    Тогда

     Пример.

      Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

     Проиллюстрируем это на примере.

      Пример.

    Пример:

      Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

     Пример:

      Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

     Пример:

      Пример.

    .

     Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

    =

    =

    Итого =

    =

      Пример.

     Пример.

    Второй способ решения того же самого примера.

    С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

     Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

     

    Пример.

    Контрольная работы по математике Пределы