Контрольная работы по математике Интегральное исчисление

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

 

  Пример.

 Пример.

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно cosx.

 Пример.

 

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно sinx.

 По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

  Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

  Пример.

 Пример.

  Пример.

 Пример.

  Пример.

 Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

 Пример.

Итого 

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

 С помощью подстановки  функция рационализируется.

Тогда

 Пример.

  Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

 Проиллюстрируем это на примере.

  Пример.

Пример:

  Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

 Пример:

  Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

 Пример:

  Пример.

.

 Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

Итого =

=

  Пример.

 Пример.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

 Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

 

Пример.

Контрольная работы по математике Пределы