Контрольная работы по математике Интегральное исчисление

Определенный интеграл.

 

 Пример.

  Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

 Пример.

  - интеграл сходится

 

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

 Пример. Найти полный дифференциал функции .

  Пример. Найти полный дифференциал функции

  Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

  Уравнение касательной плоскости:

  Уравнение нормали:

 

  Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

  Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Производная по направлению.

 Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент.

Контрольная работы по математике Пределы