Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

    Пример 10. Доказать, что

    Решение. 1-й способ. Обозначим  Заметим, что  при  Поэтому последовательность  убывает при  и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим  и перейдём к пределу в равенстве   

    2-й способ. Используя формулу (2), получаем  Отсюда  Поскольку , из последнего неравенства следует, что 

    3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство    Следовательно, при

    , то есть . Поскольку  то из последнего неравенства следует, что .

    Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

     Второй замечательный предел

    задаётся формулами ,  , где

    или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов 

    , где  т.е. в случае неопределённости вида

    Пример 12. Найти предел 

     Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

    Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 

    Пример 14. Доказать, что

     Решение. Покажем, что при любом 뿷膞b활bᡭ뿷ᨷ腾 

    Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

         

      

    Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

    убывает(см. пример ) и её предел равен  Тогда

    Поскольку  то  и

     

    Пример 15. Для нахождения   применяется следующий процесс:  произвольно,

       (8)

    Доказать, что

     Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого 뿷膞b활bᡭ뿷ᨷ腾   Теперь убедимся в том, что последовательность  не возрастает. Действительно, неравенство  то есть , равносильно . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность  имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: 

    Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом:

      Найти .

    Решение. Оценим разность между  и числом , являющимся корнем уравнения . Применяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим .

    Поскольку , то  и .

    Обувь Кемел Актив в москве смотрите на camel-shoes.ru.
    Контрольная работы по математике Пределы