Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Предел функции

    Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,   – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

     Определение. Число  называется пределом функции  в точке , если 

     ed>0  d Þ e). (9)

    Предел функции в точке  обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае  аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

    Определение. Функция  есть бесконечно малая при , если

    Функции   и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

    Определение. Функция  есть бесконечно малая относительно  при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где   При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

    Справедливы следующие предложения.

    (f(х) ~ g(х)) при .

    (f(х) ~ g(х)) при

    Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

    3. Если f(х) ~ах  и g(х) ~bх и  , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

    При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при  :

    1. sinx~x , ,

    2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

    3. tgx~x , tgx=x+o(x),

    4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

    5.   ~x , ,

    6.   ~xlna, ,

    7.   ~x , ,

    8. ~,

    9. ~,

    10. 1-cosx~, .

    Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

     Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен  имеет корни  и , упростим исходное выражение:

    .

    Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

     Пример 18. Найти предел .

    Решение. При  многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке  равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что  является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:

     ,  .

    Получаем   Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

    Пример 19. Найти предел

     .

    Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

    Поскольку  , то

    .

     

    Пример 20. Найти предел .

    Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

      Поскольку , , то

     .

    Пример 20. Найти предел .

    Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

    , поскольку  при .

    Далее, 

    .

    Пример 21. Найти предел a.

    Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение  и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

    Пример 22. Найти предел .

    Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:   

     По

    предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

    2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

    Контрольная работы по математике Пределы