Контрольная работы по математике Пределы

Пример 23. Вычислить предел функции

 

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

 

Пример24. Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

 

Получаем

.

Пример 25. Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:  . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же  и  при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

 .

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель  и учтём, что . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

   .

 .

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел  и табличные эквивалентности, получаем:

 ++=

 +  = + 1 + 

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

  при , получаем

   

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку  и воспользуемся табличными формулами:

 

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

  (10)

Преобразуем выражение 

 

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции 

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а  и -бесконечно малые при  

Пример 31. Найти предел 

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

 

Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

Контрольная работы по математике Пределы