Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Пример 23. Вычислить предел функции

     

    Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

     

    Пример24. Вычислить предел функции

    .

    Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

     

    Получаем

    .

    Пример 25. Вычислить предел функции .

    Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:  . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

    2-й способ. Поскольку , то . Точно так же  и  при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

    .

    Пример 26. Вычислить предел функции

     .

    Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель  и учтём, что . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

       .

     .

    Пример 27. Вычислить предел функции

    Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

    Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел  и табличные эквивалентности, получаем:

     ++=

     +  = + 1 + 

    2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

      при , получаем

       

    Пример 28. Вычислить предел функции

    Решение. Сделаем подстановку  и воспользуемся табличными формулами:

     

    Пример 29. Вычислить предел функции

    Решение. Сделаем подстановку :

      (10)

    Преобразуем выражение 

     

    Подставляем полученное выражение в (10):

    Пример 30. Вычислить предел функции 

    Решение.

    Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а  и -бесконечно малые при  

    Пример 31. Найти предел 

    Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

    Пример 32. Вычислить предел функции

     

    Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

    Пример 33. Вычислить предел функции

    Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

    Контрольная работы по математике Пределы