Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

    Второй замечательный предел

      (11)

    применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где  т.е. в случае неопределённости вида

    Следующие три примера решим различными способами.

    Пример 34. Вычислить предел функции

     Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

    Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

    Пример 35. Вычислить предел функции

    Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

    Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

      . (12)

    Пример 36. Вычислить предел функции

    Решение. Находим

    Далее,   и в силу (12) получаем 

    Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:  Найти 

    Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между  и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим  то есть. Отсюда видно, что

     Непрерывность функции

    Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

      (13)

    Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  

    Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

    Решение. 1-й способ. Поскольку  определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

    Переходим к неравенству для значений функции:

      (14)

    Пусть выполнено неравенство  то есть  Тогда  Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство   , то неравенство (14) также будет выполнено:  Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы  и . Поэтому

    2-й способ. Неравенство  для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

     

     Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если  Таким образом,

    Дроб

     Рис.1

    3-й способ. Найдём  по  графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

    Контрольная работы по математике Пределы