Контрольная работы по математике Пределы

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

  (11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где  т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

  . (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее,   и в силу (12) получаем 

Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:  Найти 

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между  и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим  то есть. Отсюда видно, что

 Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

  (13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ. Поскольку  определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

  (14)

Пусть выполнено неравенство  то есть  Тогда  Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство   , то неравенство (14) также будет выполнено:  Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы  и . Поэтому

2-й способ. Неравенство  для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

 

 Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если  Таким образом,

Дроб

 Рис.1

3-й способ. Найдём  по  графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Контрольная работы по математике Пределы