Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    ЗАДАЧА 4

    Постановка задачи: Вычислить предел числовой последовательности

     , где   и  - многочлены степени

    План решения:

    1. Представим выражение под знаком предела в виде дроби, записав в знаменателе единицу . Запишем в числителе и знаменателе дроби величину с противоположным знаком, т.е:

     - это

      - это

    2. Используя формулы сокращенного умножения раскроем скобки и преобразуем выражение

    ù

     
    .

    3. Используя план решения рассмотренный в задаче №3, вычислим предел.

    Пример: вычислить предел

    Решение:

    1. В числителе стоит разность двух бесконечно больших величин

     

     

     

     и - многочлены одной степени. Умножаем числитель и знаменатель на величину

    2.

    Получим

     

    Ответ:

    ЗАДАЧА 5

    Постановка задачи: вычислить предел числовой последовательности

    а)  

    б) , где - сумма первых  членов

     прогрессии

    в) 

    План решения:

    1. Определить к какому типу относится решаемый пример.

    2. Записать выражение, стоящее под знаком предела в форм, удобной для разложения на множители. Для этого:

    а) Увидеть прогрессию и свернуть часть выражения по одной из формул

    б и в) выбрать минимальное значение из  если , то

     

     

     

    б) тогда факториалы, стоящие под знаком продела выражаются

    через , и вынести общий множитель за скобки и сократить дробь.

    в) Используя свойства степеней привести показательные части выражения к виду   и  , затем вынести за скобки (если ) или (если )

    3. Полученные пределы вычислить используя свойства пределов.

    Пример:

    а) Вычислить предел

    Решение:

    1. Пример относится к первому типу.

    2. Рассмотрим выражение  - это арифметическая прогрессия, в которой , количество элементов , поэтому

    предел примет вид:

    3. Применяя приемы вычисления пределов, рассмотренные в примере №2, получаем

    Ответ: =

    б) Вычислить предел

    Решение:

    1. Пример относится ко второму типу.

    2.

     

    Используя свойства пределов

    Ответ:

    в) Вычислить предел 

    Решение:

    Пример относится к третьему типу

    ;

    Используя , т. к. получаем

    Ответ:

    ЗАДАЧА 6

    Постановка задачи: Вычислить продел последовательности, где  и

    Пример решения:

    1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т. е. выделим единицу:

    , где

      - бесконечно малая последовательность при

    Так как   при  , то

    2. Если    и , то

    Следовательно, если существует предел

      , то окончательно имеем

    Пример: Вычислить предел  

    Решение:

    1. При   выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

    , а показатель – к минус бесконечности:

    Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

     

    2. Так как , то окончательно имеем

    Ответ:

    Контрольная работы по математике Пределы