Контрольная работы по математике Пределы

ЗАДАЧА 4

Постановка задачи: Вычислить предел числовой последовательности

 , где   и  - многочлены степени

План решения:

1. Представим выражение под знаком предела в виде дроби, записав в знаменателе единицу . Запишем в числителе и знаменателе дроби величину с противоположным знаком, т.е:

 - это

  - это

2. Используя формулы сокращенного умножения раскроем скобки и преобразуем выражение

ù

 
.

3. Используя план решения рассмотренный в задаче №3, вычислим предел.

Пример: вычислить предел

Решение:

1. В числителе стоит разность двух бесконечно больших величин

 

 

 

 и - многочлены одной степени. Умножаем числитель и знаменатель на величину

2.

Получим

 

Ответ:

ЗАДАЧА 5

Постановка задачи: вычислить предел числовой последовательности

а)  

б) , где - сумма первых  членов

 прогрессии

в) 

План решения:

1. Определить к какому типу относится решаемый пример.

2. Записать выражение, стоящее под знаком предела в форм, удобной для разложения на множители. Для этого:

а) Увидеть прогрессию и свернуть часть выражения по одной из формул

б и в) выбрать минимальное значение из  если , то

 

 

 

б) тогда факториалы, стоящие под знаком продела выражаются

через , и вынести общий множитель за скобки и сократить дробь.

в) Используя свойства степеней привести показательные части выражения к виду   и  , затем вынести за скобки (если ) или (если )

3. Полученные пределы вычислить используя свойства пределов.

Пример:

а) Вычислить предел

Решение:

1. Пример относится к первому типу.

2. Рассмотрим выражение  - это арифметическая прогрессия, в которой , количество элементов , поэтому

предел примет вид:

3. Применяя приемы вычисления пределов, рассмотренные в примере №2, получаем

Ответ: =

б) Вычислить предел

Решение:

1. Пример относится ко второму типу.

2.

 

Используя свойства пределов

Ответ:

в) Вычислить предел 

Решение:

Пример относится к третьему типу

;

Используя , т. к. получаем

Ответ:

ЗАДАЧА 6

Постановка задачи: Вычислить продел последовательности, где  и

Пример решения:

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т. е. выделим единицу:

, где

  - бесконечно малая последовательность при

Так как   при  , то

2. Если    и , то

Следовательно, если существует предел

  , то окончательно имеем

Пример: Вычислить предел  

Решение:

1. При   выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

, а показатель – к минус бесконечности:

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

 

2. Так как , то окончательно имеем

Ответ:

Контрольная работы по математике Пределы