Курс лекций по физике Примеры решения задач

Начертательная геометрия
Фронтально проецирующая плоскость
Фронтальная плоскость уровня
Фронталь плоскости
Прямая, параллельная плоскости
Взаимная параллельность плоскостей
Примеры изображения плоскостей общего и частного положения
Задание поверхности на комплексном чертеже
Определитель поверхности
Алгоритм конструирования поверхности
Развертывающиеся поверхности
Комплексный чертеж призматической поверхности
Задание кривых линейчатых поверхностей
Задание цилиндрической поверхности общего вида на комплексном чертеже
Неразвертывающиеся линейчатые поверхности с двумя направляющими
Алгоритм построения цилиндроида
Коноид
Поверхности вращения
Поверхности вращения второго порядка
Сфера образуется вращением окружности
Эллипсоид вращения
Гиперболоид вращения
Тор- поверхность вращения 4 порядка
Сконструировать поверхность: тор-кольцо
Винтовые поверхности
Решение позиционных и метрических задач
Позиционные задачи
Решение главных позиционных задач
Конические сечения
Построить линию пересечения сферы
Метрические задачи.
Построение плоскости, касательной к поверхности
Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
Преобразование комплексного чертежа
Плоский чертёж
Третья основная задача преобразования комплексного чертежа
Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа
Плоскость общего положения поставить в положение проецирующей
Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа
Технические чертежи

Изображения на технических чертежах

Разрезы
Классификация разрезов
Соединение части вида и части разреза
Сечения
Выносные элементы
По наглядному изображению построить три вида детали и выполнить необходимые разрезы.
Построить три вида детали и выполнить необходимые разрезы
Сфера
Аксонометрия
Изометрия окружности
Прямоугольная диметрия
Сети, компьютеры
Локальные и глобальные
компьютерные сети
Методы маршрутизации
Построение сети
Технология Ethernet
Технология мобильных сетей
Адресация в IP-сетях
Вычислительные сети
Адресация в сетях
Топология сети
Глобальная компьютерная сеть Интернет
Электронная почта
Адрес E-mail
Поиск информации в Интернет
Структурированные кабельные системы
Математика
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Пределы
Примеры вычисления интегралов
Производная и дифференциал
Изменить порядок интегрирования
в интеграле
Вычислить двойной интеграл
Интегрирование по частям
Исследовать на сходимость ряд
Вычислить предел функции
Решение типового варианта
контрольной работы
Энергетика
Курс лекций общая энергетика
Физика, электротехника
Лабораторная работа по ТОЭ
Двигатели, генераторы, трансформаторы
Контрольная по физике
ТОЭ теоретические основы
электротехники
Цифровые электронные устройства
Способы охлаждения
полупроводниковых приборов
Теория электрических цепей
Тормозное рентгеновское излучение
Ядерная модель атома
Равновесная плотность энергии излучения
Способы получения
интерференционной картины
Понятие когерентности
Явление дифракции
Дифракция от круглого отверстия
Дифракция Фраунгофера от щели
Дифракционная решетка
Тепловое излучение. Формула Планка
Техническая механика
Контрольная работа
Курс лекций
Лабораторные работы
Задачи по сопромату
Моменты инерции сечения
Деформации и перемещения при кручении
валов
Определение опорных реакций
Расчет статически неопределимых балок
Расчет ферм
Расчеты на прочность по допускаемым
напряжениям
Моменты инерции
Изгиб с кручением
Вычислить упругую объемную
деформацию
Рассчитатьна прочность по III-ей теории
прочности
История искусства
Лекции по эргономике
для дизайнеров интерьера
Египет, Индия и Китай
Доисторическая эпоха
Буддизм
Ассирия
ЭЛЛАДА
Коринфский стиль
Рим
Хлеба и зрелищ
этрусский дом
ДРЕВНЕХРИСТИАНСКАЯ ЭПОХА
Борьба язычества с христианством
римские катакомбы
САСАНИДЫ
Магометанство
Появление арабов в Европе
История искусства государства
Российского

Дальнейшее развитие христианства
в Европе

Византийская архитектура
Новгорода и Пскова
Покровский собор в Филях
четыре вида древней иконописи
Иконоборство
Эпоха петровских преобразований
История искусства западной Европы
периода Возрождения
Романский стиль. — Готика
Церковь Парижской Богоматери
ИТАЛИЯ В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
Жизнь Италии в эпоху Возрождения
Ломбардское направление живопис
НИДЕРЛАНДЫ
Леонардо да Винчи
Общее состояние искусств в Европе.
Народные росписи
Уральский расписной туесок
Нижнетагильские туеса
А.Н.Голубева «Тагильский букет»
 

Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка. Голография.

Дифракция Фраунгофера от щели.

 Соответствующий расчет и здесь будет проведен с помощью принципа Гюйгенса—Френеля.

Пусть на бесконечно длинную щель ширины b (длина щели много больше ее ширины) падает нормально плоская волна. Расположим за щелью собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости экран (рис.3.9.1). Когда фронт волны совместится с плоскостью щели, мы можем полагать, что в щели находятся вторичные источники. Лучи от этих источников, падающие на линзу параллельным пучком, она соберет в одной точке на экране. Таким образом, в каждой точке экрана картину создают лучи, идущие от вторичных источников параллельным пучком. Поэтому эту картину Рис.3.9.1.

 называют иногда дифракцией в параллельных лучах. (Такую же

картину мы получили бы, если бы экран располагался бесконечно далеко от щели).

Разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности на очень узкие одинаковые по ширине зоны-полоски, параллельные прямолинейным краям щели. Суммирование вторичных волн проведем с помощью векторной диаграммы (рис.3.9.2).Колебания, приходящие в точку P от каждой такой зоны-полоски имеют одинаковую амплитуду dA. При Рис.3.9.2.

 этом разность фаз между колебаниями,

 приходящими в точку P от соседних зон-полосок,

 будет одинакова (проходя через линзу, лучи не приобретают дополнительной разности фаз).Отсюда следует, что при графическом изображении мы получим цепочку векторов dA, одинаковых по модулю и повернутых относительно друг друга на один и тот же угол (рис.3.9.2а). Результирующая амплитуда изобразится вектором A — хордой дуги окружности с центром в точке C.

Заметим, что для точки P0 эта цепочка образует прямую, что соответствует максимуму интенсивности.

Если разность хода крайних лучей (рис.3.9.1) составляет D = l, то их разность фаз d = 2π, цепочка оказывается замкнутой и амплитуда результирующего колебания обращается в нуль (рис.3.9.2б). Это первый минимум дифракционной картины, представляющей собой симметричную относительно середины систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели.

Результирующая амплитуда обращается в нуль и тогда, когда разность фаз от крайних элементов щели равна 2πm, где m = 1, 2,... Цепочка при этом замыкается после m оборотов, практически не меняя своей длины A0, поскольку угол дифракции обычно достаточно мал.

Разность фаз d связана с разностью хода D соотношением 

где l — длина волны света.

Так как для крайних лучей D = bsin (рис.3.9.1) и в минимуме d = 2πm, то из этих трех равенств следует условие для минимумов:

 m = 1, 2, … (3.9.1)

Заметим, что m ¹ 0, поскольку при m = 0 образуется максимум (цепочка векторов становится прямой).

Из этой формулы видно, что уменьшение ширины b щели приводит к расширению дифракционной картины.

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны. Из (3.9.1) следует ± m/b. Модуль  не может превысить единицу.  Поэтому наибольший порядок минимума

m ≤ b/ (3.9.2)

Таким образом, при ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

С другой стороны, если щель очень широкая, как видно из (3.9.1), минимумы будут располагаться очень близко друг от друга, так что максимумы, располагающиеся между ними, сольются и мы получим геометрическое изображение щели (дифракция не наблюдается). Поэтому в приведенном примере мы наблюдаем дифракционную картину лишь вдоль одной координаты в направлении ширины щели

График зависимости I от sin показан на рис.3.9.3. Расчеты показывают, что интенсивность второго максимума составляет около 4% от интенсивности центрального, поэтому можно считать, что практически весь световой поток, проходящий через щель, сосредоточен в первом (центральном) максимуме, угловая полуширина которого равна l/b.

Отметим еще раз, что в середине симметричной Рис.3.9.3.

дифракционной картины, состоящей из чередующихся

светлых и темных полос, при дифракции Фраунгофера всегда образуется максимум освещенности (в отличие от френелевой дифракции, где центральная полоса может быть как светлой, так и темной).

Если плоская световая волна падает на щель наклонно под углом   к нормали, то разность хода между колебаниями, распространяющимися от краев щели под углом  к нормали, будет равна . Это при условии, что оба угла  и отсчитываются от нормали в одну сторону — по или против часовой стрелки.

Условие дифракционных минимумов в данном случае принимает вид

 (3.9.3)

Центральный максимум (m = 0) будет расположен под углом , т. е. в направлении падающей волны, и дифракционная картина будет несимметрична относительно центральной светлой полосы.

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации. Таким образом образуется совокупность прозрачных и непрозрачных участков.

Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Пусть ширина каждой щели равна b, а непрозрачного участка а, период решетки — d=b+a. В решетке реализуется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих из каждой щели решетки при ее освещении.

Дифракционную (точнее дифракционно-интерференционную) картину наблюдают по методу Фраунгофера, т.е. в параллельных лучах, а практически Рис.3.9.4.

 — в фокальной плоскости объектива (рис.3.9.4a).

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на решетку нормально. Каждая из щелей в отдельности давала бы в фокальной плоскости объектива дифракционную картину, показанную на рис.3.9.3. И такие картины от всех щелей в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы при наличии N щелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную в N раз.

При освещении же решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется. Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов.

Главные максимумы. В середину дифракционно-интерференционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна A1, а число щелей в решетке N, то результирующая амплитуда A и соответствующая ей интенсивность I будут определяться формулами

Такой же результат получается и при углах дифракции , для которых оптическая разность хода D колебаний от соседних щелей (рис.3.9.4б) равна целому числу длин волн:

 m = 1, 2, … (3.9.4)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке ( = 0): при знаке плюс угол > 0, а при знаке минус - угол < 0.

В направлениях , определяемых этим уравнением, возникают максимумы, интенсивность которых в N2 раз превосходят интенсивность от каждой щели в том же направлении. Их называют главными максимумами m-го порядка, а уравнение (3.9.4) — условием главных максимумов. Именно главные максимумы и представляют особый практический интерес. Как мы увидим далее, они получаются тем более узкими и резкими, чем большее число N штрихов содержит решетка.

Интерференционные минимумы. Для выяснения дальнейших деталей фраунгоферовой дифракционной картины воспользуемся векторной диаграммой, которая позволит легко найти и результирующую амплитуду A колебаний, приходящих в произвольную точку P фокальной плоскости объектива (рис.3.9.5).

 

 

 

Векторная диаграмма в нашем случае представляет собой цепочку векторов-амплитуд Рис.3.9.5.

  когерентных колебаний, приходящих в точку P

от каждой из N щелей: A1, A2,..., AN (рис.3.9.5a). По модулю эти векторы одинаковы, и каждый следующий отстает от предыдущего (или опережает, это не существенно) по фазе на один и тот же угол g. Этот угол связан с оптической разностью хода D соответствующих лучей от соседних щелей при нормальном падении света на решетку соотношением:

 (3.9.5)

где d — период решетки.

Теперь проследим, как будет вести себя эта цепочка векторов (а значит и ее замыкающая A) при удалении точки P от фокуса F, т. е. с ростом угла дифракции .

Ясно, что при этом будет увеличиваться разность фаз g между колебаниями от соседних щелей, и цепочка векторов будет постепенно закручиваться. Первый раз она замкнется и вектор A обратится в нуль, когда угол Ng станет равным 2π — это непосредственно видно из рис.3.9.5б.

При дальнейшем росте угла , а значит, разности фаз g и Ng, цепочка будет периодически то распрямляться (главные максимумы, А = макс), то замыкаться (интерференционные минимумы, А = 0). Последнее будет происходить при значениях угла Ng кратных 2π:

 (3.9.6)

где m’ принимает целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ... , при которых цепочка распрямляется, и мы получаем главные максимумы.

Подставив в (3.9.6) значение g из формулы (3.9.5), получим:

 (3.9.7)

Это выражение представляет собой условие для интерференционных минимумов (при целочисленных значениях m’, кроме 0, N, 2N, ...). Оно же содержит и условие (3.9.4) для главных максимумов (при m’ = 0, N, 2N, ...). Между двумя соседними главными максимумами расположены N – 1 интерференционных минимумов. А между последними, в свою очередь, — добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом числе N штрихов решетки пренебрежимо мала (она составляет не более 5% от интенсивности главных максимумов).

В отличие от условия (3.9.4), которое дает только положения главных максимумов, соотношение (3.9.7) позволяет определить и их угловую ширину. В самом деле, при переходе от главного максимума к соседнему минимуму (рис.3.9.6) m’ меняется на единицу, например от N до N + 1. Тогда при достаточно большом N угловую полуширину  главного максимума 1-го порядка  Рис.3.9.6. 

можно найти, взяв дифференциал уравнения (3.9.7)

с учетом того, что m’ при этом меняется на единицу (dm’ = 1). Тогда , откуда

 (3.9.8)

Обращает на себя внимание тот факт, что  зависит не от d и N в отдельности, а от их произведения, которое есть не что иное, как ширина решетки h = Nd. С ростом угла дифракции  ширина главных максимумов увеличивается. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки h и меньше угол дифракции .

Теперь выясним, что означает утверждение, например, «угловая ширина главного максимума  мала». По сравнению с чем? Ответ достаточно очевидный: величину  надо сравнивать с угловой шиной Dd между соседними главными максимумами. Если  « Dd, мы говорим, что главные максимумы узкие (резкие). Оценим отношение этих двух величин. Значение  соответствует изменению m’ в (3.9.7) на единицу, но таких значений m’ между двумя соседними главными максимумами оказывается N. Считая, что на каждый интервал dm’ = 1 приходится одно и то же значение  (для оценки), приходим к выводу, что  в N раз меньше, чем Dd. Итак, резкость главных максимумов пропорциональна числу штрихов решетки (более точный расчет приводит к тому же результату).

Таким образом, с помощью условий (3.9.4) и (3.9.7) мы можем установить не только положения главных максимумов, но и их угловую ширину (резкость). Остается решить вопрос об их интенсивности. Рассмотрим его сначала качественно.

Прослеживая поведение векторной диаграммы по мере увеличения угла дифракции , мы оставили без внимания тот факт, что при этом каждый вектор цепочки по модулю будет уменьшаться, ибо он определяется дифракцией от каждой щели. Результирующий вектор при закручивании цепочки будет сначала уменьшаться и в дальнейшем вести себя аналогично тому, как показано на рис3.9.3 зависимости I от sin.

Следовательно, кроме интерференционных минимумов, необходимо иметь в виду и дифракционные минимумы, определяемые условием (3.9.1), т. е.

где b — ширина каждой щели.

При этом условии все векторы цепочки обращаются в нуль, значит и результирующая интенсивность в этих направлениях всегда должна быть равна нулю. Даже в том случае, если этому направлению соответствует главный максимум m-го порядка.

Интенсивность главных максимумов. Распределение интенсивности в дифракционно-интерференционной картине проще всего получить с помощью векторных диаграмм (рис.3.9.5 и 3.9.2). В итоге получим следующее выражение:

 (3.9.9)

где, напомним,

 

Полученный результат (3.9.9) графически представлен на рис.3.9.7 как зависимость интенсивности дифракционной картины от синуса угла дифракции . Как видим, интерференция многих пучков привела Рис.3.9.7.

  к резкому перераспределению интенсивности света, обусловленному дифракцией от каждой щели.

 Первая дробь в выражении (3.9.9) представляет собой плавную функцию от sin (она показана пунктиром на рисунке и отражает дифракционное распределение интенсивности от каждой щели). Эта плавная функция модулирует многолучевую интерференционную картину от N щелей, которую описывает вторая дробь в формуле (3.9.9).

Практически наиболее важными являются главные максимумы, попадающие в центральный дифракционный максимум от каждой щели — они являются наиболее интенсивными.

 

Классическая теория электропроводности металлов Металлический проводник движется с ускорением а = 100 м/с2. Используя модель свободных электронов, определить напряжённость электрического поля.

Определить объёмную плотность тепловой мощности v в металлическом проводнике, если плотность тока j = 1×107 A/м2, напряжённость электрического поля Е = 1×10 - 3 В/м.

В результате электролиза при нормальном давлении и температуре Т = 300 К выделяется кислород объёмом которого составляет V = 1 л. Процесс протекает при напряжении U = 10 В с коэффициентом полезного действия h = 0,75. Электрохимический эквивалент кислорода равен k = 8,3×10 - 8 кг/Кл.

Две электролитические ванны соединены последовательно. В первой ванне выделилось mZn = 3,9 г цинка, а во второй за то же время mFe = 2,24 г железа. Валентность цинка ZZn = 2. Определить валентность железа ZFe.

Электрический ток в газах Молния состоит из отдельных электрических разрядов, длящихся, в среднем, t = 1×10 - 3 с, причём по каналу разряда проходит электрический заряд порядка Q = 25 Кл при напряжении на концах шнура U = 3×109 В. Определить энергию W, выделяющуюся при N = 10 разрядах и силу тока в канале одной молнии I1.

Магнитное поле движущегося электрического заряда Электрон в невозбуждённом атоме водорода в соответствии с теорией Нильса Бора движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r @ 50×10 - 12 м. Вычислить силу эквивалентного кругового тока и напряжённость поля Н в центре окружности.

Прямой проводник длиной l = 0,1 м, по которому течёт ток силой I = 20 А, расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 0, 01 Тл. Определить величину угла a между направлением вектора В и положением проводника, если на него действует сила FA = 10 - 2 Н.

Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R = 1 м находится в однородном магнитном поле с В = 0,1 Тл. По кольцу течёт ток силой I = 100 А. Плоскость дуги перпендикулярна вектору магнитной индукции. Определить величину силы Ампера, действующей на проводник.

Почему два параллельных проводника, по которым текут токи в одном направлении, притягиваются друг к другу, а два параллельных катодных луча отталкиваются?

Двухпроводная линия состоит из длинных прямых параллельных проводов, находящихся на расстоянии d = 4×10 - 3 м друг от друга. По проводам текут одинаковые по величине и направлению токи I = 50 A. Определить силу взаимодействия проводов, приходящуюся на единицу длины.