Математика Методические указания и решения примерных задач контрольной работы

 Пример Исследовать функцию , построить график функции, а также графики  и 

Пример Вычислить предел функции .

Постановка задачи: вычислить предел числовой последовательности

Практикум по решению задач Найти и изобразить область определения функций:

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Решение типового варианта контрольной работы

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы

Пример. Найти производные заданных функций

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Пример Исследовать на сходимость числовые ряды:

Задача Вычислить двойной интеграл , если  ограничена окружностью .

Задача. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами ,  и плоскостями  

Переход к полярным координатам в двойном интеграле

Тройной интеграл в декартовых координатах Пример 1: Вычислить интеграл , где G – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Пример решения типового задания

Решить задачу об остывании бесконечно длинного однородного теплопроводящего полуограниченного () стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована, а начальное распределение температуры равно  На конце  поддерживается нулевая температура.

Данный процесс описывается задачей с граничным условием Дирихле:

решение которой определяется формулой

Вычислим интеграл

Рассмотрим функцию ошибок

Таким образом, получаем

С учетом того, что , имеем

Аналогично

В итоге, получаем

3). В бесконечно тонком полуограниченном (слева в точке ) однородном теплопроводящем стержне, боковая поверхность и конец  которого теплоизолированы, начальное распределение температуры задано функцией  Найти распределение температуры  в стержне в произвольный момент времени

a)    b)   

c)    d)   

e)