Задачник по математике с примерами решений Найти производные заданных функций Вычислить интеграл Исследовать на сходимость числовые ряды Вычислить объем тела Тройной интеграл в декартовых координатах Исследовать на сходимость ряд

Математика примеры решения задач типового расчета

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Предельный признак сравнения. Если даны два знакоположительных ряда (2) и (3) и существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда (2) существует конечный предел , то:

– при   ряд (2) сходится;

– при   ряд (2) расходится;

– при   неопределенный случай.

Признак Коши. Если для знакоположительного ряда (2) существует конечный предел , то:

– при   ряд (2) сходится;

– при   ряд (2) расходится;

– при   неопределенный случай.

Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (2) положительны и не возрастают, т.е. , и пусть   – такая непрерывная невозрастающая функция, что  тогда, если несобственный интеграл  сходится, то и ряд (2) сходится, если же несобственный интеграл расходится, то и ряд (2) расходится.

Ряд   называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при  и расходится при .

Ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.

Пусть дан знакопеременный ряд

  (4)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его элементов

  (5)

Если ряд (5) сходится, то ряд (4) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся; если ряд (5) расходится, а ряд (4) сходится, то знакопеременный ряд (4) называется условно (неабсолютно) сходящимся рядом.

При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Если ряд (4) сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов получается ряд абсолютно сходящийся. При этом сумма нового ряда не изменится.

Если ряд (4) сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены ряда, что сумма нового ряда окажется равной . Кроме того, можно так переставить члены ряда, что новый ряд станет расходящимся.

Числовой ряд вида

 , (6)

где , называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (6) члены ряда таковы, что   и , то ряд (6) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Если знакочередующийся ряд сходится, то можно оценить погрешность, возникающую при замене суммы ряда  частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, после -го. Эти отброшенные числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше, чем . Значит, погрешность  будет не больше абсолютной величины первого из отброшенных членов .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Поскольку , , то .

Следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрение старших степеней   позволяет предположить, что данный ряд ведет себя так же как ряд , который, как было замечено, расходится. По предельному признаку сравнения

.

Значит, данный ряд тоже расходится.

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пример.  Рассмотрим ряд

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Кратные интегралы Двойной интеграл Пример. Переход к полярным координатам.

Пример 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x, y = x2, x = 2.

Решение:

 Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)


Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным