Задачник по математике с примерами решений Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Решение типового варианта контрольной работы

Математика примеры решения задач типового расчета

Пример 25. Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:  . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же  и  при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

 .

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель  и учтём, что . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

   .

 .

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел  и табличные эквивалентности, получаем:

 ++=

 +  = + 1 + 

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

  при , получаем

   

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку  и воспользуемся табличными формулами:

 

Пример 7. Найти предел 

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом

  Пример 18. Найти предел .

Пример 29. Вычислить предел функции

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

Пример 2.

 Image0 Image254(интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: Image255(или Image256, Image257): Image258. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие Image259и Image260через косинус двойного угла: Image261. Image0Поэтому Image262Image263
Image264.


Методические указания и решения примерных задач контрольной работы