Задачник по математике с примерами решений Найти производные заданных функций Вычислить интеграл Исследовать на сходимость числовые ряды Вычислить объем тела Тройной интеграл в декартовых координатах Исследовать на сходимость ряд

Математика примеры решения задач типового расчета

 Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами ,  и плоскостями  (рис. 27).

 Решение.

На рис. 27 изображено тело :  

и его проекция на плоскость ХОУ, т.е. область : .

 

 

 

 

 

  .

 

 Ответ: .

 

 

 Задача 15. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром 

и плоскостями  (рис. 28).

 Решение. Тело  ограничено поверхностью прямого кругового цилиндра, направляющей которого является расположенная в плоскости хОу окружность

, или , образующие цилиндра параллельны оси OZ. Плоскости  пересекают поверхность

по эллипсам с осями ОА и ОВ. Задачу решаем в цилиндрических координатах. Из рис. 28 видно, что тело, объем которого нужно найти, проектируется на плоскость хОу в круг с границей , или

 – в полярных координатах.

 
 

   A

 Рис. 28

На рисунке 29 изображена проекция тела  (ОАВ) на плоскость хОу, очевидно, что , т. к. лучи, выходящие из полюса и “проектирующие” окружность в полюс, образуют развернутый угол (это вся ось ОХ).

Проведем из полюса под произвольным углом стрелку, пересекающую окружность, т.е. . Аппликата z изменяется от плоскости z=y до плоскости  z = 2y (рис. 28), т. е.  (проведите стрелку параллельно оси OZ:

 
 


 у  

 

 0 

 Рис. 29

она “входит” в тело на плоскости  z = y, или , а “выходит” на плоскости 

z = 2y, или  ).

Таким образом, в цилиндрических координатах переменная z меняется в пределах . Определив пределы изменения всех переменных интегрирования , получим:

.

  Ответ: .

Тройной интеграл

Вычисление физических характеристик пространственных фигур Масса тела  с переменной плотностью :

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Пример 2. Вычислить , где D ограничена кривыми , ху=1, ху=5.

Найти производную

Решение:

Функция задана неявно, тогда дифференцируя, получаем:

Группируя слагаемые с , получаем:

Окончательно получаем:

.


Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным