Математика - лекции конспекты курсовые примеры решения задач

Математический анализ Математика Типовой расчет http://rugrafi.ru/
Решение типового варианта контрольной работы Аналитическая геометрия Линейная алгебра Вычислить пределы функций Найти неопределенные интегралы Решить дифференциальные уравнения Вычислить двойной интеграл Задачник по математике

Интегрирование по частям.

 Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны и дифференцируемы на отрезке

 [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям:

  (14)

 Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пример 6. Вычислить интеграл .

==

== =+ =0.

Интегрирование четной и нечетной функции по симметричному отрезку [-a,а].

Отметим следующие полезные свойства определенного интеграла.

Если f(x) четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то .

Если f(x) нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то .

 

 

Несобственные интегралы.

 Несобственные интегралы обобщают понятие определенного интеграла для 2-х случаев, при которых нарушаются необходимые условия интегрируемости, а именно: 1)под интегралом ограниченая функция f(x) интегрируется , по (полу-) бесконечному промежутку и 2) под интегралом неограниченная функция g(x) интегрируется по конечному промежутку.

 Геометрически несобственные интегралы определяют площадь полубесконечной трапеции (рис), ограниченной в первом случае: графиком функции и осью ОХ; во втором случае графиком функции и осью OY по промежутку [d,0) (см. рис.).

 В задаче «найти несобственный интеграл …» решается проблема – какая по величине площадь криволинейной трапеции : конечная или бесконечно большая, что равносильно ответу на вопрос: сходится или расходится несобственный интеграл. .

Пример 7. Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Задачу решаем непосредственным интегрированием на основании определения. Выписываем следующую последовательность действий согласно формуле (15). Находим первообразную и предел

- предел не существует, следовательно несобственный интеграл расходится.

Пример 8. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла

Согласно (15)

 - интеграл сходится

 Часто в задаче ставится вопрос о сходимости несобственного интеграла без поиска его первообразной. В этом случае используют следующие теоремы (признаки сравнния):

 Теорема 5: Если для всех  выполняется условие  и интеграл  сходится, то  тоже сходится и  ³ .

 Теорема 6: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие  и интеграл  расходится, то  тоже расходится.

 Т.е. из сходимости несобственного интеграла от большей функции j(x), вытекает сходимость от меньшей и наоборот, если расходится несобственный интеграл от меньшей функции, то расходится и от большей.

 Очень часто в качестве сравнения для выяснения сходимости выбирают несобственные интегралы от функции

 j(x)=.  

 где k – некоторое постоянное число

Исследуем на сходимость несобственный интеграл от этой функции  (16)