Математика - лекции конспекты курсовые примеры решения задач

Решение типового варианта контрольной работы Аналитическая геометрия Линейная алгебра Вычислить пределы функций Найти неопределенные интегралы Решить дифференциальные уравнения Вычислить двойной интеграл Задачник по математике

Интегрирование по частям.

 Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны и дифференцируемы на отрезке

 [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям:

  (14)

 Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пример 6. Вычислить интеграл .

==

== =+ =0.

Интегрирование четной и нечетной функции по симметричному отрезку [-a,а].

Отметим следующие полезные свойства определенного интеграла.

Если f(x) четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то .

Если f(x) нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то .

 

 

Несобственные интегралы.

 Несобственные интегралы обобщают понятие определенного интеграла для 2-х случаев, при которых нарушаются необходимые условия интегрируемости, а именно: 1)под интегралом ограниченая функция f(x) интегрируется , по (полу-) бесконечному промежутку и 2) под интегралом неограниченная функция g(x) интегрируется по конечному промежутку.

 Геометрически несобственные интегралы определяют площадь полубесконечной трапеции (рис), ограниченной в первом случае: графиком функции и осью ОХ; во втором случае графиком функции и осью OY по промежутку [d,0) (см. рис.).

 В задаче «найти несобственный интеграл …» решается проблема – какая по величине площадь криволинейной трапеции : конечная или бесконечно большая, что равносильно ответу на вопрос: сходится или расходится несобственный интеграл. .

Пример 7. Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Задачу решаем непосредственным интегрированием на основании определения. Выписываем следующую последовательность действий согласно формуле (15). Находим первообразную и предел

- предел не существует, следовательно несобственный интеграл расходится.

Пример 8. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла

Согласно (15)

 - интеграл сходится

 Часто в задаче ставится вопрос о сходимости несобственного интеграла без поиска его первообразной. В этом случае используют следующие теоремы (признаки сравнния):

 Теорема 5: Если для всех  выполняется условие  и интеграл  сходится, то  тоже сходится и  ³ .

 Теорема 6: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие  и интеграл  расходится, то  тоже расходится.

 Т.е. из сходимости несобственного интеграла от большей функции j(x), вытекает сходимость от меньшей и наоборот, если расходится несобственный интеграл от меньшей функции, то расходится и от большей.

 Очень часто в качестве сравнения для выяснения сходимости выбирают несобственные интегралы от функции

 j(x)=.  

 где k – некоторое постоянное число

Исследуем на сходимость несобственный интеграл от этой функции  (16)